Cara berhitung Cepat Matematika

Cara Cepat Menghitung Perkalian Dalam 5 Detik

        Apabila Anda diberikan soal perkalian 18 x 19, maka bagaimana cara Anda untuk mencari hasilnya? Apakah masih menggunakan cara konvensional seperti di bawah ini?

view sourceprint?

1.18

2.19

3.---- x

4.162

5.18

6.---- +

7.342

Hmmm… cara di atas mungkin masih kalah cepat dengan cara yang saya temukan di YouTube.com ini. Cuman sayang, trik cara cepat menghitung perkalian ini hanya berlaku untuk perkalian bilangan sampai dengan 20 saja. Untuk perkalian yang melibatkan bilangan di atas 20, cara ini tidak tepat lagi.

Mau tau caranya? Saksikan video berikut ini

OK mudah-mudahan ada manfaatnya.

  Untuk perkalian angka belasan, a=10
misalkan:
12*13
= (10+2)(10+3)
= (10+2+3)*10 + 2*3
= (12+3)*10 + 2*3 ; ini penjelasan cara di video
= 150 + 6
= 156

Untuk angka2 yg lain, duapuluh-sekian, maka a=20
22*33
= (20+2+3)*20 + 2*3
= (22+3)*20 + 2*3 ; ini mirip dg yg di video, tapi perhatikan, itu dikalikan 20
= 25*20 + 2*3
= 500 + 6
= 506

Perhatikan jumlah puluhannya, itu digunakan sebagai pengali.
12 & 13 –> a=10
22 & 23 –> a=20
52 & 53 –> a=50

12*13 = (12+3)*10 + 6 = 15*10 + 6 = 156
22*23 = (22+3)*20 + 6 = 25*20 + 6 = 506
32*33 = (32+3)*30 + 6 = 35*30 + 6 = 1.056
52*53 = (52+3)*50 + 6 = 55*50 + 6 = 2.750 + 6

        Pada tutorial ini akan dipaparkan bagaimana cara membuat media untuk memperkenalkan sistem koordinat kartesius. Mudah-mudahan media ini cocok bagi anak-anak Sekolah Dasar yang baru diperkenalkan dengan sistem koordinat ini. Adapun media ini dibuat dengan Mathematica.

Media yang akan dibuat, memungkinkan kita menempatkan sebuah titik atau beberapa titik pada koordinat yang diinginkan. Sehingga input dari media ini adalah titik atau himpunan titik koordinat.

OK… kita mulai saja membuat media ini.

Langkah pertama kita buat function yang menerima input berupa titik atau himpunan titik koordinat. Function ini kita berinama koordinat[]

koordinat[titik_] := Graphics[{PointSize[0.03], Point[titik]}]

Maksud dari perintah {PointSize[0.03], Point[titik]} adalah menampilkan titik pada koordinat tertentu, dalam hal ini ‘titik’ merupakan koordinatnya. Ukuran titik yang ditampilkan adalah 0.03. Anda boleh mengubah ukurannya sesuai yang diinginkan.

Setelah function koordinat[] di atas kita buat, coba selanjutnya berikan perintah

koordinat[{3, 4}]

Perintah di atas akan menghasilkan sebuah titik pada bidang kartesius. Namun hasil yang muncul kurang menarik dan agak sulit dibaca letak titiknya.

Supaya titik-titik koordinat mudah dibaca, alangkah baiknya pada sistem koordinat kartesius ini diberikan garis/grid. Dalam hal ini kita batasi, grid untuk sumbu-x mulai dari -5 s/d 5. Begitu pula untuk sumbu-y. Sekarang coba tambahkan perintah GridLines pada function koordinat[] yang tadi telah dibuat.

koordinat[titik_] := Graphics[{PointSize[0.03], Point[titik]},
                             GridLines -> {{-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5},
                                           {-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}}]

Selanjutnya jalankan kembali perintah

koordinat[{3, 4}]

Hasil yang muncul sudah lebih baik karena terdapat grid untuk memudahkan pembacaan.

Sekarang kita coba beri label untuk setiap titik pada sumbu koordinat. Label yang dimaksud adalah angka-angka -5, -4, -3, …, 2, 3, 4, 5. Lagi-lagi label ini untuk memudahkan pembacaan titik koordinat.

koordinat[titik_] := Graphics[{PointSize[0.03], Point[titik]},
                             GridLines -> {{-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5},
                                           {-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}},
                             Ticks -> {{-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5},
                                       {-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}},
                             Axes -> True,
                             PlotRange -> {{-5, 5}, {-5, 5}}]

Nah… kita coba lihat hasilnya kembali dengan memberikan perintah

koordinat[{3, 4}]

OK… apabila Anda lihat hasilnya sudah cukup lumayan. Tapi sayang…. tulisan label angka-angka pada sumbunya terlalu kecil. Oleh karena itu kita coba perbesar ukuran fontnya. Kalau perlu kita ubah pula warnanya menjadi merah.

koordinat[titik_] := Graphics[{PointSize[0.03], Point[titik]},
                             GridLines -> {{-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5},
                                           {-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}},
                             Ticks -> {{-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5},
                                       {-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}},
                             Axes -> True,
                             PlotRange -> {{-5, 5}, {-5, 5}},
                             LabelStyle -> Directive[Red, FontSize -> 12]]

Terakhir… coba Anda cek lagi tampilan outputnya dengan menuliskan perintah

koordinat[{3, 4}]

Wuih… hasilnya sudah OK sekarang. Ini dia hasilnya setelah kita lakukan modifikasi pada function koordinat[].

Anda dapat pula menggambar beberapa titik koordinat dalam satu bidang yang sama. Berikut ini contohnya

koordinat[{{1, 2}, {4, 2}, {4, 4}, {1, 4}}]

Hasilnya adalah

Membuat Visualisasi Perpotongan Garis, Bidang, dan Bangun Ruang Menggunakan Mathematica

Dengan menggunakan Mathematica, kita dapat berkreasi apa saja untuk membentuk obyek 3D. Obyek-obyek 3D yang dihasilkan dapat digunakan untuk membantu proses pembelajaran, salah satunya untuk pemahaman konsep dimensi tiga di SMU, khususnya tentang perpotongan garis dengan bidang, bidang dengan bidang, serta bangun ruang dengan bidang.

Nah pada artikel ini akan disajikan beberapa visualisasi 3D tentang perpotongan obyek tersebut, serta perintahnya dalam Mathematica untuk menghasilkan visualisasinya.

Perpotongan Garis dengan Bidang

Seperti pada materi pelajaran yang telah diberikan di SMU, bahwa perpotongan garis dengan bidang akan menghasilkan sebuah titik. Apa benar hal ini? Lihat saja pada visualisasi berikut ini.

Apa perintah Mathematica untuk membuat visualisasi di atas? Ini dia perintahnya

view sourceprint?

1.Graphics3D[{Polygon[{{0, 0, 0}, {2, 0, 0}, {2, 1, 0}, {0, 1, 0}}],

2.{Line[{{1, 0.5, 1}, {1, 0.5, -1}}]}}, Boxed -> False]

Perintah di atas menggabungkan 2 buah obyek yaitu obyek berupa persegi panjang, yang dalam hal ini dibuat dengan perintah Polygon[], serta garis yang dibuat dengan perintah Line[].

Perpotongan Bidang dengan Bidang

Nah… kalau perpotongan yang ini, akan dihasilkan sebuah garis. Eit… benarkah berupa garis? Jangan-jangan itu hanya teori? Untuk buktinya, silakan perhatikan visualisasi berikut.

OO… ternyata benar bahwa perpotongan bidang dengan bidang akan menghasilkan sebuah garis.

Visualisasi di atas dihasilkan  dari perintah di bawah ini

view sourceprint?

1.Graphics3D[{Polygon[{{0, 0, 0}, {2, 0, 0}, {2, 1, 0}, {0, 1, 0}}],

2.Polygon[{{1, 0, 1}, {1, 1, 1}, {1, 1, -1}, {1, 0, -1}}]},

3.Boxed -> False]

Konsep untuk membuat visualisasi perpotongan 2 buah bidang dengan Mathematica adalah dengan membuat dua buah obyek bidang, dalam hal ini menggunakan perintah Polygon[], dan diatur koordinatnya sedemikian hingga kedua poligon berpotongan.

Perpotongan Bidang dengan Bangun Ruang

Apa jadinya ya jika sebuah bidang dipotongkan atau diiriskan dengan sebuah bangun ruang (pejal)? Dalam teori sih… kita akan mendapatkan informasi bahwa hasil irisannya adalah berupa bidang.  Yuk… kita cek kebenarannya dengan melihat visualisasi ini

Bener deh… berupa bidang. Kebetulan pada visualisasi 3D tersebut menunjukkan perpotongan sebuah bidang dengan bangun ruang berbentuk kubus.

Perintah Mathematica untuk membuat visualisasi di atas adalah

view sourceprint?

1.Graphics3D[{{Opacity[0.5], Yellow, Cuboid[]},

2.{Opacity[0.5], Polygon[{{-0.25, 0.5, 1.5},

3.{0.55, -0.25, 1.5},

4.{0.55, -0.25, -0.5},

5.{-0.25, 0.5, -0.5}}]}},

6.Boxed -> False]

Nah… Anda dapat berkreasi sendiri untuk membuat obyek bangun ruangnya selain kubus.

Ada pertanyaan dan diskusi tentang artikel ini, silakan kirim komentar di bawah ini

Membuat Animasi Grafik Fungsi Kuadrat dengan Mathematica

      Tutorial ini hampir mirip dengan artikel sebelumnya tentanganimasi grafik fungsi linear. Pada tutorial ini akan dijelaskan bagaimana membuat perintah Mathematica untuk membuat animasi untuk memvisualisasikan perubahan grafik fungsi kuadrat.

Seperti yang kita ketahui bahwa bentuk umum fungsi kuadrat adalah y = f(x) = ax^2 + bx + c. Dengan animasi ini, kita akan dapat melihat pengaruh perubahan koefisien-koefisien a, b dan c pada bentuk grafik. Bagaimana bentuk grafik apabila a > 0, a < 0, demikian pula untuk b dan c, kita akan segera mengetahuinya dengan animasi ini.
Pada contoh animasi ini, kita membatasi domain x untuk fungsi kuadrat adalah pada [-6, 6], serta nilai koefisien a, b dan c adalah mulai dari -5 s/d 5.
Perintah Mathematica untuk membuat animasi grafik fungsi kuadratnya adalah:

view sourceprint?

1.Animate[Column[{{a, b, c},

2.Plot[a x^2 + b x + c, {x, -6, 6},

3.PlotRange -> {{-5, 5}, {-10, 10}}]}], {a, -5, 5}, {b, -5, 5}, {c, -5, 5}]

Untuk mengubah-ubah nilai a, b dan c, cukup kita geser-geser slider untuk masing-masing koefisien, seperti yang tampak pada tampilan hasil perintah di atas berikut ini.

Nilai perubahan koefisien a, b dan c akan tampak pada bagian atas animasi berbentuk pasangan {a , b, c} .
Catatan:
Perintah di atas dibuat pada Mathematica 6 dan belum pernah dicoba untuk rilis di bawahnya.

========================================================================

Tolong komentarnya ya............
Siapa Tau Aja ada yang mau ditanyakan..........
^_^ ????????